Geometric phase

La fase geometrica (o fase di un ciclo) in meccanica classica e quantistica è una differenza di fase acquisita durante un ciclo, quando un sistema è soggetto a processi adiabatici ciclici, che risultano dalle proprietà geometriche dello spazio dei parametri dell'Hamiltoniana. Questo fenomeno è stato scoperto indipendentemente da S. Pancharatnam nel 1956 nell'ottica classica e da H. C. Longuet-Higgins nel 1958 nella fisica molecolare; è stato poi generalizzato da Michael Berry nel 1984. È anche nota come fase di Pancharatnam–Berry, fase di Pancharatnam o fase di Berry.

La fase geometrica può essere osservata nell'intersezione conica delle superfici di energia potenziale e nell’effetto Aharonov-Bohm. Essa è presente non solo nella meccanica quantistica, ma anche in una varietà di altri sistemi di onde, come l'ottica classica. In generale, la fase geometrica può verificarsi quando ci sono almeno due parametri che caratterizzano un'onda nelle vicinanze di una singolarità o di un buco nella topologia; due parametri sono necessari poiché l'insieme degli stati non singolari non è semplicemente connesso, o c'è una non nulla olocrazia.

Le onde sono caratterizzate da ampiezza e fase, e possono variare come funzione di questi parametri. La fase geometrica si verifica quando entrambi i parametri vengono cambiati simultaneamente ma molto lentamente (adiabaticamente), e infine riportati alla configurazione iniziale. In meccanica quantistica, questo potrebbe coinvolgere rotazioni ma anche traslazioni di particelle, che sono apparentemente annullate alla fine. Tuttavia, se le escursioni dei parametri corrispondono a un ciclo, piuttosto che a una variazione di andata e ritorno, allora è possibile che gli stati iniziali e finali differiscano nelle loro fasi. Questa differenza di fase è la fase geometrica, e la sua occorrenza indica tipicamente che la dipendenza del sistema dai parametri è singolare (il suo stato è indefinito) per una certa combinazione di parametri.

Per misurare la fase geometrica in un sistema di onde, è necessario un esperimento di interferenza. Il pendolo di Foucault è un esempio di meccanica classica che illustra la fase geometrica.

Fase di Berry in meccanica quantistica

In un sistema quantistico allo stato proprio n, un'evoluzione adiabatica dell'Hamiltoniana vede il sistema rimanere nello stato proprio n dell'Hamiltoniana, acquisendo anche un fattore di fase. La fase ottenuta ha un contributo dall'evoluzione temporale dello stato e un altro dalla variazione dello stato proprio con l'Hamiltoniana variabile. Il secondo termine corrisponde alla fase di Berry, e per variazioni non cicliche dell'Hamiltoniana può essere annullato con una diversa scelta della fase associata agli stati propri dell'Hamiltoniana in ogni punto dell'evoluzione.

Tuttavia, se la variazione è ciclica, la fase di Berry non può essere annullata; è invariante e diventa una proprietà osservabile del sistema. Rivedendo la prova del teorema adiabatico data da Max Born e Vladimir Fock, possiamo caratterizzare l'intero cambiamento del processo adiabatico in un termine di fase. Sotto l'approssimazione adiabatica, il coefficiente dello stato proprio n sotto processo adiabatico è dato da

$$C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},$$

dove $\gamma _{n}(t)$ è la fase di Berry rispetto al parametro t. Cambiando la variabile t in parametri generalizzati, possiamo riscrivere la fase di Berry come

$$\gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\langle n,t|{\big (}\nabla _{R}|n,t\rangle {\big )}\,dR,$$

dove $R$ parametrizza il processo adiabatico ciclico. La normalizzazione di $|n,t\rangle$ implica che l'integrando è immaginario, in modo che $\gamma _{n}[C]$ è reale. Segue un percorso chiuso $C$ nello spazio dei parametri appropriato. La fase geometrica lungo il percorso chiuso $C$ può anche essere calcolata integrando la curvatura di Berry sulla superficie racchiusa da $C$.

Esempi di fasi geometriche

Pendolo di Foucault

Uno degli esempi più semplici è il pendolo di Foucault.

Trasporto parallelo di un vettore intorno a un anello chiuso sulla sfera: l'angolo di torsione, α, è proporzionale all'area all'interno dell'anello.

In un sistema di riferimento quasi inerziale che si muove insieme alla Terra, ma non condivide la rotazione della Terra intorno al proprio asse, il punto di sospensione del pendolo traccia un percorso circolare durante un giorno siderale.

Alla latitudine di Parigi, 48 gradi 51 minuti nord, un ciclo completo di precessione richiede poco meno di 32 ore, quindi dopo un giorno siderale, quando la Terra è di nuovo nella stessa orientazione di un giorno siderale prima, il piano di oscillazione si è ruotato di poco più di 270 gradi. Se il piano di oscillazione era nord-sud all'inizio, è est-ovest un giorno siderale dopo.

Ciò implica anche che c'è stato uno scambio di momento; la Terra e la massa del pendolo hanno scambiato momento. La Terra è così tanto più massiccia della massa del pendolo che il cambiamento di momento della Terra è impercettibile. Tuttavia, poiché il piano di oscillazione del pendolo si è spostato, le leggi di conservazione implicano che deve essere avvenuto uno scambio.

Invece di tracciare il cambiamento di momento, la precessione del piano di oscillazione può essere descritta in modo efficiente come un caso di trasporto parallelo. Per questo, si può dimostrare, componendo le rotazioni infinitesimali, che la velocità di precessione è proporzionale alla proiezione della velocità angolare della Terra sulla direzione normale alla Terra, il che implica che la traccia del piano di oscillazione subirà un trasporto parallelo. Dopo 24 ore, la differenza tra le orientazioni iniziali e finali della traccia nel sistema di riferimento terrestre è α = −2π sin φ, che corrisponde al valore dato dal teorema di Gauss-Bonnet. α è anche chiamato olocrazia o fase geometrica del pendolo.

Luce polarizzata in una fibra ottica

Un secondo esempio è la luce polarizzata linearmente che entra in una fibra ottica monomodale. Si supponga che la fibra tracci un percorso nello spazio, e la luce esca dalla fibra nella stessa direzione in cui è entrata. Quindi si confrontano le polarizzazioni iniziali e finali. Nell'approssimazione semiclassica, la fibra funge da guida d'onda, e il momento della luce è sempre tangente alla fibra. La polarizzazione può essere considerata un'orientazione perpendicolare al momento. Mentre la fibra traccia il suo percorso, il vettore del momento della luce traccia un percorso sulla sfera nello spazio dei momenti. Il percorso è chiuso, poiché le direzioni iniziali e finali della luce coincidono, e la polarizzazione è un vettore tangente alla sfera. Passando allo spazio dei momenti è equivalente a prendere la mappa di Gauss. Non ci sono forze che potrebbero far girare la polarizzazione, solo il vincolo di rimanere tangente alla sfera. Pertanto, la polarizzazione subisce un trasporto parallelo, e lo spostamento di fase è dato dall'angolo solido racchiuso (per lo spin, che nel caso della luce è 1).

Effetto di pompaggio stocastico

Un pompa stocastico è un sistema stocastico classico che risponde con correnti non nulle, in media, ai cambiamenti periodici dei parametri. L'effetto di pompaggio stocastico può essere interpretato in termini di una fase geometrica nell'evoluzione della funzione generatrice di correnti stocastiche.

Spin 1/2

La fase geometrica può essere valutata esattamente per una particella di spin 1/2 in un campo magnetico.

Fase geometrica definita su attrattori

Nonostante la formulazione originale di Berry fosse definita per sistemi hamiltoniani lineari, fu presto realizzato da Ning e Haken che una fase geometrica simile può essere definita per sistemi completamente diversi come i sistemi dissipativi non lineari che possiedono certi attrattori ciclici. Hanno mostrato che tali attrattori ciclici esistono in una classe di sistemi dissipativi non lineari con certe simmetrie.

Esposizione nelle intersezioni di superfici di potenziale adiabatico molecolare

Ci sono diversi modi per calcolare la fase geometrica nelle molecole all'interno del quadro di Born-Oppenheimer. Un modo è attraverso la "matrice di accoppiamento non adiabatico M × M" definita da

$$\tau _{ij}^{\mu }=\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\rangle ,$$

dove $\psi _{i}$ è la funzione d'onda elettronica adiabatica, che dipende dai parametri nucleari $R_{\mu }$. L'accoppiamento non adiabatico può essere utilizzato per definire un integrale di loop, analogo a un loop di Wilson (1974) in teoria dei campi, sviluppato indipendentemente per il quadro molecolare da M. Baer (1975, 1980, 2000). Dato un loop chiuso $\Gamma$, parametrizzato da $R_{\mu }(t),$ dove $t\in [0,1]$ è un parametro, e $R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)$. La matrice D è data da

$$D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}$$

(qui ${\hat {P}}$ è un simbolo di ordinamento del percorso). Si può dimostrare che una volta che M è abbastanza grande (cioè un numero sufficiente di stati elettronici è considerato), questa matrice è diagonale, con gli elementi diagonali uguali a $e^{i\beta _{j}},$ dove $\beta _{j}$ sono le fasi geometriche associate al loop per lo stato elettronico adiabatico j.

Per Hamiltoniani elettronici con simmetria di inversione temporale, la fase geometrica riflette il numero di intersezioni coniche circondate dal loop. Più precisamente,

$$e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},$$

dove $N_{j}$ è il numero di intersezioni coniche che coinvolgono lo stato adiabatico $\psi _{j}$ circondate dal loop $\Gamma .$

Un'alternativa all'approccio della matrice D sarebbe un calcolo diretto della fase di Pancharatnam. Questo è particolarmente utile se si è interessati solo alle fasi geometriche di un singolo stato adiabatico. In questo approccio, si prende un numero $N+1$ di punti $(n=0,\dots ,N)$ lungo il loop $R(t_{n})$ con $t_{0}=0$ e $t_{N}=1,$ quindi utilizzando solo gli stati adiabatici j $\psi _{j}[R(t_{n})]$ si calcola il prodotto di Pancharatnam delle sovrapposizioni:

$$I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .$$

Nel limite $N\to \infty$ si ha (vedi Ryb & Baer 2004 per spiegazione e alcune applicazioni)

$$I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.$$

Fase geometrica e quantizzazione del moto ciclotronico

Un elettrone soggetto a campo magnetico B si muove su un'orbita circolare (ciclotronica). Per semplicità, consideriamo gli elettroni confinati in un piano, come il 2DEG, e il campo magnetico perpendicolare al piano. Classicamente, qualsiasi raggio ciclotronico R_c è accettabile. Quantisticamente, sono consentiti solo livelli energetici discreti (livelli di Landau), e poiché R_c è correlato all'energia dell'elettrone, ciò corrisponde a valori quantizzati di R_c. La condizione di quantizzazione dell'energia ottenuta risolvendo l'equazione di Schrödinger è, per esempio, E = (n + α)ħω_c, α = 1/2 per elettroni liberi (nel vuoto) o E = v√(2(n + α)eBħ), α = 0 per elettroni nel grafene, dove n = 0, 1, 2, .... Sebbene la derivazione di questi risultati non sia difficile, esiste un modo alternativo per derivarli, che in alcuni casi offre un'intuizione fisica migliore sulla quantizzazione dei livelli di Landau. Questo metodo alternativo si basa sulla condizione di quantizzazione semiclassica di Bohr-Sommerfeld

$$\hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),$$

che include la fase geometrica γ acquisita dall'elettrone mentre esegue il suo moto (nello spazio reale) lungo il loop chiuso dell'orbita ciclotronica. Per gli elettroni liberi, γ = 0, mentre γ = π per gli elettroni nel grafene. Si scopre che la fase geometrica è direttamente collegata a α = 1/2 degli elettroni liberi e α = 0 degli elettroni nel grafene.

Vedi anche

• Tensor di curvatura di Riemann – per il collegamento con la matematica
• Connessione e curvatura di Berry
• Classe di Chern
• Rotazione ottica
• Numero di avvolgimento

Note

Malline:Note Per semplicità, consideriamo gli elettroni confinati in un piano, come il 2DEG, e il campo magnetico perpendicolare al piano.

Malline:Note $\omega _{c}=eB/m$ è la frequenza ciclotronica (per elettroni liberi) e $v$ è la velocità di Fermi (degli elettroni nel grafene).

Bibliografia

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• "Three-point phase, symplectic measure, and Berry phase" (1992). International Journal of Theoretical Physics 31 (6): 937. doi:10.1007/BF00675086. Bibcode: 1992IJTP...31..937C. 
• Richard Montgomery (8 August 2006). A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications. American Mathematical Soc., 11–. ISBN 978-0-8218-4165-5.  (Vedi capitolo 13 per un trattamento matematico)
• Connessioni con altri fenomeni fisici (come l'effetto Jahn-Teller) sono discusse qui: La fase geometrica di Berry: una revisione
• Articolo del Prof. Galvez presso la Colgate University, che descrive la Fase Geometrica in Ottica: Applicazioni della Fase Geometrica in Ottica Malline:Webarchive
• Surya Ganguli, Fibre Bundles and Gauge Theories in Classical Physics: A Unified Description of Falling Cats, Magnetic Monopoles and Berry's Phase
• Robert Batterman, Falling Cats, Parallel Parking, and Polarized Light
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• M. Baer, 'Transizioni elettroniche non adiabatiche: Derivazione della matrice di trasformazione adiabatica-diabatica generale', Mol. Phys. 40, 1011 (1980);
• M. Baer, Esistenza di potenziali diabatici e la quantizzazione della matrice non adiabatica, J. Phys. Chem. A 104, 3181–3184 (2000).
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• (1989) Fasi geometriche in fisica. World Scientific. ISBN 978-9971-5-0621-6. 
• (1990) Riduzione, Simmetria e Fasi in Meccanica. AMS Bookstore, 69. ISBN 978-0-8218-2498-6. 
• C. Pisani (1994). Calcolo Ab-initio Quantomeccanico delle Proprietà dei Materiali Cristallini, Atti del IV Corso di Chimica Computazionale della Società Chimica Italiana, Springer, 282. ISBN 978-3-540-61645-0. 
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• Michael Baer (2006). Oltre Born Oppenheimer. Wiley. ISBN 978-0-471-77891-2. 
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• C. Z. Ning, H. Haken (1992). "La fase geometrica in sistemi dissipativi non lineari". Mod. Phys. Lett. B 6 (25): 1541–1568. doi:10.1142/S0217984992001265. Bibcode: 1992MPLB....6.1541N. 

Approfondimenti

• Michael V. Berry, La fase geometrica, Scientific American 259 (6) (1988), 26–34.

Link esterni

• La fase geometrica, Scientific American
• Fasi geometriche e la separazione del mondo da Michael Berry, International Centre for Theoretical Sciences

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